设矩形ABCD的周长为24,沿AC对折,AB交DC于点P,设AB=x求三角形ADP的最大面积及相应X的值

Question

设矩形ABCD的周长为24,沿AC对折,AB交DC于点P,设AB=x求三角形ADP的最大面积及相应X的值

Answer 1

AB=X,则AD=24/2-X=12-X
三角形ADP与三角形CBP全等
DP=BP,
因为AB=AP+PB
所以X＝AP+DP,即AP=X-DP
直角三角形ADP中,根据勾股定理得,
AP*AP=AD*AD+DP*DP
代入得,DP=12-72/X
三角形ADP面积
S=DP*AD/2=(12-72/X)*(12-X)/2
=145/2-6(x+72/x)
因为X>0,x+72/x ≥√(x*72/x)=6√2
所以 -6(x+72/x)≤-36√2
所以145/2-6(x+72/x)≤145/2-36√2
三角形ADP面积
S≤145/2-36√2
仅当 x+72/x=√(x*72/x)=6√2时,三角形ADP面积S最小=145/2-36√2