（1）某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个正方形队列．现要将队列规模扩大，使得原队列的行、列数各增加3，形成一个新正方形队列，则需要补充39人进来，问原正方形队列共有

Question

（1）某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个正方形队列．现要将队列规模扩大，使得原队列的行、列数各增加3，形成一个新正方形队列，则需要补充39人进来，问原正方形队列共有多少人？
（2）等到该校秋季运动会时，由若干名同学组成一个8列的矩形队列．如果原队列中增加120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列，问原矩形队列共有多少人？

Answer 1

（1）设原有方队的行、列数都是x，则
（x+3）（x+3）-x²=39，
整理，得
6x+9=39，
解得x=5，
所以原有的人数是5×5=25（人）．
答：原正方形队列共有25人；

（2）设原有战士8n人，8n+120=a²，8n-120=b²，
则存在a²-b²=240，
即（a+b）（a-b）=240．但a+b与a-b的奇偶性相同，且a、b都为偶数，
故a+b=120，a-b=2，于是a=61，b=59（不合题意舍去）；
a+b=60，a-b=4，于是a=32，b=28，则8x=904．因为904-120=784，784为28的平方，即28行28列，与题意不符，即不是在原8列的方阵中减去120，而是减去120再排成队列，所以904不符条件，应舍去；
a+b=40，a-b=6，于是a=23，b=17（不合题意舍去）；
a+b=30，a-b=8，于是a=19，b=11（不合题意舍去）；
a+b=24，a-b=10，于是a=17，b=7（不合题意舍去）；
a+b=20，a-b=12，于是a=16，b=4，则8x=136；
a+b=16，a-b=15，于是a=15.5，b=0.5（不合题意舍去）．
故原长方形队列共有136名战士．