质量为m的飞机模型，在水平跑道上由静止匀加速起飞，假定起飞过程中受到的平均阻力恒为飞机所受重力的k倍，发动机牵引力恒为F，离开地面起飞时的速度为v，重力加速度为g．求：（1）

Question

质量为m的飞机模型，在水平跑道上由静止匀加速起飞，假定起飞过程中受到的平均阻力恒为飞机所受重力的k倍，发动机牵引力恒为F，离开地面起飞时的速度为v，重力加速度为g．求：
（1）飞机模型的起飞距离（离开地面前的运动距离）以及起飞过程中平均阻力的冲量；
（2）若飞机起飞利用电磁弹射技术，将大大缩短起飞距离．图甲为电磁弹射装置的原理简化示意图，与飞机连接的金属块（图中未画出）可以沿两根相互靠近且平行的导轨无摩擦滑动．使用前先给电容为C的大容量电容器充电，弹射飞机时，电容器释放储存电能所产生的强大电流从一根导轨流入，经过金属块，再从另一根导轨流出；导轨中的强大电流形成的磁场使金属块受磁场力而加速，从而推动飞机起飞．
①在图乙中画出电源向电容器充电过程中电容器两极板间电压u与极板上所带电荷量q的图象，在此基础上求电容器充电电压为U₀时储存的电能；
②当电容器充电电压为U_m时弹射上述飞机模型，在电磁弹射装置与飞机发动机同时工作的情况下，可使起飞距离缩短为x．若金属块推动飞机所做的功与电容器释放电能的比值为η，飞机发动的牵引力F及受到的平均阻力不变．求完成此次弹射后电容器剩余的电能．

Answer 1

（1）平均阻力为f=kmg，依据牛顿第二定律和运动学规律，有：
F-f=ma                  
解得：
a=(F−kmg)/(m)
设飞机的起飞距离为s，依据运动学公式，有：
v²=2as                  
解得：s=(v2)/(2a)＝(mv2)/(2(F−kmg))
设飞机的起飞时间为t，依据运动学公式，有：
v=at       
平均阻力的冲量：I=ft        
解得：I=(km2gv)/(F−kmg)
平均阻力冲量的方向与飞机运动方向相反；
（2）①根据电容定义公式C=(q)/(U)，有：q=CU
u-q图如图所示：
                 
依据图象可得电容器储存电能的规律（图象与q轴包围的面积表示电能）：
E=(1)/(2)qU
由于q=CU，则电容器充电电压为U₀时，电容器储存电能：
E₀=(1)/(2)qU0=(1)/(2)CU

2

0

②电容器电压为U_m时，电容器储存电能：
E_m=(1)/(2)CU

2

m

设电容器释放的电能为E'，由动能定理有：
ηE′+Fx-kmgx=(1)/(2)mv²-0      
解得：
E′=(1)/(2η)（mv²+2kmgx-2Fx）
电容器剩余的电能：
E_剩=E_m-E′
解得：
E_剩=(1)/(2)CU

2

m

-(1)/(2η)（mv²+2kmgx-2Fx）
答：（1）飞机模型的起飞距离为(mv2)/(2(F−kmg))，起飞过程中平均阻力的冲量为(km2gv)/(F−kmg)；
（2）①u-q图如图所示，储存的电能为(1)/(2)CU

2

0

；
②完成此次弹射后电容器剩余的电能为(1)/(2)CU

2

m

-(1)/(2η)（mv²+2kmgx-2Fx）．