如图，已知△ABC，DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，点M在边BC上，AM交DE于点F．（1）求证：DFFE=BMMC；（2）当M是BC的中点时，探求DF与EF之间的数量关系，由此你可以得到一个什么样的结论？与同

Question

如图，已知△ABC，DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，点M在边BC上，AM交DE于点F．

（1）求证：(DF)/(FE)=(BM)/(MC)；
（2）当M是BC的中点时，探求DF与EF之间的数量关系，由此你可以得到一个什么样的结论？与同伴交流．
（3）当M为中点，且(DE)/(BC)=(2)/(3)时，求证：点F是△ABC的重心．

Answer 1

（1）证明：∵DE∥BC，
∴△ADF∽△ABM，△AEF∽△AMC，
∴(DF)/(BM)=(AF)/(AM)，(EF)/(MC)=(AF)/(AM)，
∴(DF)/(BM)=(EF)/(MC)，
∴(DF)/(EF)=(BM)/(MC)；
（2） DF=EF．理由如下：
∵M是BC的中点，
∴BM=CM，
而(DF)/(EF)=(BM)/(MC)，
∴DF=EF；
（3） 取AC的中点N，连结MN，BN，BN交AM于F′，如图，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴(AD)/(AB)=(DE)/(BC)=(2)/(3)，
∵∴△ADF∽△ABM，
∴(AF)/(AM)=(AD)/(AB)=(2)/(3)，
∴(AF)/(FM)=2，
∵M点BC的中点，N点为AC的中点，
∴MN为△ABC的中位线，
∴MN∥AB，MN=(1)/(2)AB，
∵△F′AB∽△F′MN，
∴(AF′)/(F′M)=(AB)/(MN)2，
∴点F′与点F重合，
而点F′为△ABC的重心，
∴点F是△ABC的重心．