设数列{an}，如果存在常数a，对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数M，使得当n＞M时，恒有|an-a|＜q成立，就称数列{an}为收敛数列，且收敛于a．则下列结论中，正确的是①等

Question

设数列{a_n}，如果存在常数a，对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数M，使得当n＞M时，恒有|a_n-a|＜q成立，就称数列{a_n}为收敛数列，且收敛于a．则下列结论中，正确的是______
①等差数列{a_n}一定不是收敛数列；
②等比数列的公比q满足|q|＜1，前n项和为S_n，则数列{S_n}收敛；
③等差数列{a_n}公差不为0，数列{(1)/(anan+1)}的前n项和为S_n，则数列{S_n}收敛；
④数列{a_n}的通项公式为a_n=1+((−1)n)/(n)，则{a_n}不收敛．

Answer 1

对于①：
若该等差数列为常数列，则符合收敛的条件，
故①错误；
对于②：∵|q|＜1，
∴S_n=(a1(1−qn))/(1−q)→(a1)/(1−q)，
∴数列{S_n}收敛；
对于③：等差数列{a_n}公差不为0，
设该数列的首项为a₁，公差为d，
∴a_n=a₁+（n-1）d=nd+a₁-d，
∵(1)/(anan+1)=(1)/(d)((1)/(an)−(1)/(an+1))
∴Sn＝(1)/(d)((1)/(a1)−(1)/(a2))+(1)/(d)((1)/(a2)−(1)/(a3))+…+(1)/(d)((1)/(an)-(1)/(an+1)）
=(1)/(d)((1)/(a1)−(1)/(an+1))
∴Sn→(1)/(a1d)，
∴数列{S_n}收敛，
故③正确；
对于④：
∵数列{a_n}的通项公式为a_n=1+((−1)n)/(n)，
∴a_n→1，
∴{a_n}收敛，
故④错误．
故答案为：②③．