（2008•绵阳模拟）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接AO并延长交⊙O于C，交PB的延长线于D．（1）找出图中所有的相似三角形，并证明你的结论（不再添加辅助线）；（2）若PA=2+2，

Question

（2008•绵阳模拟）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接AO并延长交⊙O于C，交PB的延长线于D．
（1）找出图中所有的相似三角形，并证明你的结论（不再添加辅助线）；
（2）若PA=2+√(2)，∠P=45°，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

（1）△OBD∽△PAD．
证明：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBD=90°．
又∵∠D=∠D，
∴△OBD∽△PAD；

（2）∵∠P=45°，
∴∠DOB=45°，
∴△OBD、△PAD均是等腰直角三角形，
从而PD=√(2)PA，BD=OB，
又∵PA=2+√(2)，PA=PB，
∴BD=OB=PD-PB=√(2)PA-PA=（√(2)-1）PA=（√(2)-1）（2+√(2)）=√(2)，
故S_阴影=S_△OBD-S_扇形=(1)/(2)•OB•BD−(45)/(360)π•BD2=(1)/(2)•√(2)×√(2)−(1)/(8)π×2=1−(π)/(4)．