x趋向于0,求lim（cosx）^（1/ln（1+1/x^2））的值.答案是1/根号e

Question

x趋向于0,求lim（cosx）^（1/ln（1+1/x^2））的值.
答案是1/根号e

Answer 1

　　你给的得不到那个结果,应是
　　　　lim(x→0)(cosx)^[1/ln(1+x^2)].
　　先利用 L'Hospital 法则计算
　　　lim(x→0)lncosx/ln(1+x^2) (0/0,用 L'Hospital 法则)
　　= lim(x→0)(-sinx/cosx)/[2x/(1+x^2)]
　　= (-1/2)*lim(x→0)(sinx/x)*[(1+x^2)/cosx]
　　= -1/2,
所以
lim(x→0)(cosx)^[1/ln(1+x^2)]
　　= e^{lim(x→0)lncosx/ln(1+x^2)}
　　= e^(-1/2).