已知函数f（x）=ax2+1x，其中a∈R．（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（2）若函数f（x）在区间[1，+∞）上为增函数，求a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=ax²+(1)/(x)，其中a∈R．
（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（2）若函数f（x）在区间[1，+∞）上为增函数，求a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=0时f（x）为奇函数；当a≠0时f（x）为非奇非偶函数．证明如下：
∵f（x）=ax²+(1)/(x)，
∴f（-x）=ax²-(1)/(x)，
当a=0时，f（-x）=-f（x）=−(1)/(x)，f（x）为奇函数；
当a≠0时，f（-x）≠f（x），且f（-x）≠-f（x），
此时f（x）为非奇非偶函数．
（2）f′（x）=2ax-(1)/(x2)，
∵f（x）在区间[1，+∞）上为增函数，
∴f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即2a≥(1)/(x3)在[1，+∞）上恒成立，
而(1)/(x3)在在[1，+∞）上单调递减，∴(1)/(x3)≤1，
∴2a≥1，解得a≥(1)/(2)．