设n是大于1的数,求证,在数1,2,3,4,……,n-1,n的前面添加+或-,进行加法运算,总能使所得的和为0或1.华东师范大学出版社,2,82,探索天地第六题.

Question

设n是大于1的数,求证,在数1,2,3,4,……,n-1,n的前面添加+或-,进行加法运算,总能使所得的和为0或1.
华东师范大学出版社,2,8【2】,探索天地第六题.

Answer 1

分4类证明即可,因为任意一个正整数被4除,余数只能是0,1,2,3
1.若n-1是4 的倍数,即余数为0 时,顺次每4 个数一组,把中间两数添加"-"号,
即; 1,-2,-3,4,5,-6 ,-7,8.,9,-10,-11,12,.则相加为0
2.若n-1被4 除余数为1 时,把1放在一边,再顺次每4 个数一组,把中间两数添加"-"号,
即 1,2,-3,-4,5,6,-7,-8,9,10,-11,-12,13,.,则相加为1
3.若n-1被4 除余数为2 时,把1,2放在一边,并把1添加"-",
余下的数再顺次每4 个数一组,把中间两数添加"-"号,
即 -1,2,3,-4,-5,6,7,-8,-9,10,11,-12,-13,14,.则相加为1
4.若n-1被4 除余数为3 时,把1,2,3放在一边,并把3添加"-",
余下的数再顺次每4 个数一组,把中间两数添加"-"号,
即 1,2,-3,4,-5,-6,7,8,-9,-10,11,.则相加为0
综上所述,在数1,2,3,4...,n-1的前面适当添加"+"号或者"—"号,并进行加法运算,总能使所得的和为0或者1