给定正整数n和正数M，对于满足条件a12+an+12≤M的所有等差数列a1，a2，a3，…．，试求S=an+1+an+2+…+a2n+1的最大值．

Question

给定正整数 n 和正数 M，对于满足条件a12+an+12≤M 的所有等差数列 a₁，a₂，a₃，…．，试求 S=a_n+1+a_n+2+…+a_2n+1的最大值．

Answer 1

设公差为d，a_n+1=a，
则S=a_n+1+a_n+2+…a_2n+1是以a_n+1=a为首项，d为公差的等差数列的前（n+1）项和，
所以S=a_n+1+a_n+2+…a_2n+1=（n+1）a+(n(n+1))/(2)d．
同除以（n+1），得 a+(nd)/(2)＝(S)/(n+1)．
则M≥a12+an+12＝(α−nd)2+a2=
(4)/(10)(a+(nd)/(2))2+(1)/(10)(4a−3nd)2≥(4)/(10)((S)/(n+1))2
因此|S|≤(√(10))/(2)（n+1）√(M)，
且当 a=(3)/(√(10))√(M)，d=(4)/(√(10))•(1)/(n)√(M) 时，
S=（n+1）〔(3)/(√(10))√(M)+(n)/(2)•(4)/(√(10))•(1)/(n)√(M)〕
=（n+1）(5)/(√(10))√(M)=(√(10))/(2)（n+1）√(M)
由于此时4a=3nd，故 a12+an+12＝(4)/(10)((S)/(n+1))2=(4)/(10)•(10)/(4)M＝M．
所以，S的最大值为(√(10))/(2)（n+1）√(M)．