日本高考排列题一列n个小球,用红黄蓝三种颜色上色,要求相邻的小球颜色不一样.不一定每种颜色都出现.两端的小球颜色一样的时候排列数为An,两端的小球颜色不一样的时候排列数为Bn.求An和

Question

日本高考排列题
一列n个小球,用红黄蓝三种颜色上色,要求相邻的小球颜色不一样.不一定每种颜色都出现.两端的小球颜色一样的时候排列数为An,两端的小球颜色不一样的时候排列数为Bn.求An和Bn.
很遗憾,下面热心网友的An=Bn=6的答案是错的.用枚举法就可以轻易知道A5=18,A6=30

Answer 1

当球有1个2个不成立,即n>2.将球涂成3个颜色,可以理解为三种颜色的球排队.但队伍里面不一定取到全部3种颜色,因为如果n=3,依题意只能取两种颜色的球.
n=3,有3*2种=6种.比如两端的球任取一种颜色为红色,则中间一个球可以为黄色或者蓝色.
n=4,有3*2种=6种.同理两端任取一种颜色,有3种可能.中间两个球只能取2种颜色有两种排法.
n=5,有3*2种=6种.
利用归纳法,不论n的个数有多少,只有6种排法.
An=6.
n=1不成立,n>1.
n=2时,3*2种=6种.第一个球可以取3种颜色中的任一种,有3种取法.第二个只能在第一球确定下取另外两种中的一个,共有2种取法.
n=3时,3*2种=6种.第一个球3种取法,第二个球2种取法,第3个球1种取法.
n=4时,3*2种=6种.第一个球3种取法,最后一个球2种取法,中间两个球只能有一种取法.比如第一个球取了红,最后一个取了蓝,则第2、3个球只能是黄、红,即红黄红蓝.
利用归纳法,无论n为大于1的何值,取法都为6种.
Bn=6.