已知二次函数y=x2-2ax-2a-6（a为常数，a≠0）．（1）求证：该二次函数的图象与x轴有两个交点；（2）设该二次函数的图象与x轴交于点A（-2，0）和点B，与y轴交于点C，线段BC的垂直平分线l与x轴

Question

已知二次函数y=x²-2ax-2a-6（a为常数，a≠0）．
（1）求证：该二次函数的图象与x轴有两个交点；
（2）设该二次函数的图象与x轴交于点A（-2，0）和点B，与y轴交于点C，线段BC的垂直平分线l与x轴交于点D．
①求点D的坐标；
②设点P是抛物线上的一个动点，点Q是直线l上的一个动点．以点B、D、P、Q为顶点的四边形是否可能为平行四边形？若能，直接写出点Q的坐标．

Answer 1

（1）证明：y=x²-2ax-2a-6
      当a≠0时，（-2a）²-4（-2a-6）=4a²+8a+24=4（a+1）²+20
∵4（a+1）²≥0
∴4（a+1）²+20>0
所以，该函数的图象与x轴总有两个公共点．        
（2）①如图1，
把（2，0）代入y=x²-2ax-2a-6得a=1
所以，y=x²-2x-8．
当x=0时，y=-8，即C（0，-8），当y时，x²-2x-8=0，解得x=2（不符合题意，舍），x=4，即B（4，0），
B（4，0）、C（0，-8）
∵点D在BC的垂直平分线上
∴DC=DB
设OD=x，则DC=DB=x+4，
在Rt△ODC中  OD²+OC²=DC²，
即x²+8²=（x+4）²，
解得x=6
所以D（-6，0）
②Q₁（(23)/(2)，-(35)/(4)）、Q₂（10，-8）、Q₃（-(25)/(2)，(13)/(4)）、Q₄（(1)/(2)，-(13)/(4)）．
设BC的中点为E，则点E （2，-4），
直线l的函数关系式为y=-(1)/(2)x-3，
以点B、D、P、Q为顶点的四边形分以下两种情况讨论
第一种情况：当DB为四边形的边时，如图2，
当PQ∥DB且PQ=DB时，四边形DPQB为平行四边形，
若PQ在x轴下方时，设点Q（m，-(1)/(2)m-3）则P（m-10，-(1)/(2)m-3），
因为点P在抛物线上，所以-(1)/(2)m-3=（m-10）²-2（m-10）-8．
解得m₁=(23)/(2)，m₂=10
所以Q₁（(23)/(2)，-(35)/(4)）、Q₂（10，-8）
若PQ在x轴上方时，设点Q（m，-(1)/(2)m-3）则P（m+10，-(1)/(2)m-3）
因为点P在抛物线上，所以-(1)/(2)m-3=（m+10）²-2（m+10）-8．
解得m₁=-(25)/(2)，m₂=-6（舍去）
所以Q₃（-(25)/(2)，(13)/(4)）
第二种情况：当DB为四边形的对角线时
当DQ₄∥PB且DQ₄=PB时，四边形D Q₄BP为平行四边形
此时可发现DQ₄=PB=DQ₃，即D为Q₃Q₄的中点
所以，可求出Q₄点（(1)/(2)，-(13)/(4)）．