如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点P，顶点为C（2，-9）．（1）求此函数的关系式；（2）作点C关于x轴的对称点D，顺次连接A，C，B，D．若在抛物线上存在点E，

Question

如图，已知二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点P，顶点为C（2，-9）．
（1）求此函数的关系式；
（2）作点C关于x轴的对称点D，顺次连接A，C，B，D．若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ACBD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，F为抛物线上的一个动点，记△PEF的面积为S，问S取何值时，相应的F点有且只有3个．

Answer 1

（1）∵二次函数y=x²+bx+c的顶点为（2，-9），
∴二次函数的解析式：y=（x-2）²-9=x²-4x-5．

（2）∵C、D关于x轴对称，
∴AD=AC、BC=BD，且CD∥y轴；
由抛物线的对称性知，点A、B关于直线CD对称，则：AD=BD、AC=BC；
∴AC=BC=BD=AD，即四边形ACBD是菱形；
若直线PE将四边形ACBD平分成两个面积相等的四边形，则直线PE必过AB、CD的交点G（2，0），
设直线PE的解析式为：y=kx+b（k≠0），将P（0，-5）、G（2，0）代入，得：

b＝−5

2k+b＝0

，
解得

k＝(5)/(2)

b＝−5

．
故直线PE：y=(5)/(2)x-5，联立抛物线的解析式，得：

y＝(5)/(2)x−5

y＝x2−4x−5

，
解得

x1＝0

y1＝−5

，

x2＝(13)/(2)

y2＝(45)/(4)

故点E的坐标（(13)/(2)，(45)/(4)）．

（3）通过图示可以发现，
当点F在直线PE上方时，在直线PE的上方一定有两个点F；
当点F在直线PE下方时，若相应的F点有且只有3个，那么直线PE下方的点F只有一个；过点F作PE的平行线，该直线必与抛物线有且只有一个交点，此时点F到直线PE的距离最长；
以PE为底、点F到直线PE的距离为高，此时△PEF的面积最大，即S最大（情况如右图）；
设点F的坐标为（x，x²-4x-5），过点F作FH∥y轴，交直线PE于点H，则H（x，(5)/(2)x-5），则：
FH=（(5)/(2)x-5）-（x²-4x-5）=-x²+(13)/(2)x；
则S=(1)/(2)×(13)/(2)×（-x²+(13)/(2)x）=-(13)/(4)（x-(13)/(4)）²+(2197)/(64)；
综上，当S=(2197)/(64)时，相应的F点有且只有三个．