可将1-30这30个整数写成1行,使得由第二个数开始的每个数都是它前面所排列的所有数之和的约数,则排在第30个位置上的数最大是?

Question

可将1-30这30个整数写成1行,使得由第二个数开始的每个数都是它前面所排列的所有数之和的约数,则排在第30个位置上的数最大是?

Answer 1

先计算1~30个数字的总和1/2(1+30)*30=465那么假如第30个位置上的数字是1~30之间的任何一个数字,设为x,则有465-x=kx k为正整数即x=465/(k+1)已知465=1*3*5*31,那么465的约数为1 3 5 15 31 93 155 365,也就是k+1可以为这里面的任意一个因为x为1~30中的一个数,则有1≤x≤30即1≤465/(k+1)≤30解不等式得到15.5≤k+1≤465则k+1有31 93 155 365现要求求x的最大值,而x=465/(k+1),则转化为k+1的最小值,k+1的最小值在31 93 155 365中为31那么x=465/(k+1)=465/31=15即为所求答:排在第30个位置上的数最大应是15