数论高手进A^2-b,A^2+b均是完全平方数,求证b是24的倍数

Question

数论高手进A^2-b,A^2+b均是完全平方数,求证b是24的倍数

Answer 1

b = 0 时,结论显然成立.
b不为0时
令
a^2 + b = m^2
a^2 - b = n ^2
所以
b = m^2 - a^2 = ( m+a )( m-a )
b = a^2 - n^2 = ( a +n )( a -n )
所以
b 是 m+a,m-a,a+n,a-n 的公倍数
所以
b >= max{ m+a,m-a,a+n,a-n }
而且
b 是 m+a,m-a,a+n,a-n 的最小公倍数的倍数
令
L 是 m+a,m-a,a+n,a-n 的最小公倍数
D 是 m+a,m-a,a+n,a-n 的最大公约数
则
b = qL = q( m+a )( m-a )( a +n )( a -n ) / D = qb^2 / D
所以
D = qb
即 b 是 D 的约数
所以
b = max{ m+a,m-a,a+n,a-n } 矛盾
所以 b 只能为 0