有一礼花炮竖直向上发射炮弹，炮弹的质量M=6.0kg（内含炸药的质量可以不计），射出的初速度v0=60m/s，若炮弹到达最高点时爆炸为沿水平方向运动的两片，其中一片的质量m=4.0kg．现要求这一

Question

有一礼花炮竖直向上发射炮弹，炮弹的质量M=6.0kg（内含炸药的质量可以不计），射出的初速度v₀=60m/s，若炮弹到达最高点时爆炸为沿水平方向运动的两片，其中一片的质量m=4.0kg．现要求这一片不能落到以发射点为圆心，以R=600m为半径的圆周范围内．试求：（g取10m/s²，不计空气阻力，取地面为零势能面）
（1）炮弹能上升的高度H为多少？
（2）爆炸后，质量为m的弹片的最小速度是多大？
（3）爆炸后，两弹片的最小机械能是多少？

Answer 1

（1）取地面为参考平面，由机械能守恒定律得
  MgH=(1)/(2)Mv₀²，得 H=(v20)/(2g)=(602)/(20)m=180 m．
（2）爆炸后，质量为m的弹片做平抛运动，由平抛运动知识得
  H=(1)/(2)gt²，R=vt，
可得最小速度  v=R√((g)/(2H))=600×√((10)/(2×180))m/s=100 m/s．
（3）由题意知另一弹片质量为
  m′=M-m=2.0 kg，
设爆炸后瞬间此弹片速度为v′，取爆炸后，质量为m的弹片速度方向为正方向，由动量守恒定律得
  mv-m′v′=0，v′=(mv)/(v′)=200 m/s
两弹片的机械能为
E=(1)/(2)mv²+(1)/(2)m′v′²+（m+m′）gH=7.08×10⁴ J．
答：
（1）炮弹能上升的高度H为180m．
（2）爆炸后，质量为m的弹片的最小速度是100 m/s．
（3）爆炸后，两弹片的最小机械能是7.08×10⁴ J．