一个线性代数题设矩阵A={2112},b=（0,n=（1如果n是方程组的一个解,求Ax=b的通解{0131}1-1{1ac1}0）1

Question

一个线性代数题
设矩阵A={2 1 1 2},b=（0 ,n=（1 如果n是方程组的一个解,求Ax=b的通解
{0 1 3 1} 1 -1
{1 a c 1} 0） 1
-1）

Answer 1

把n代入Ax=b的a=c,再对增广矩阵进行行初等变换,得
2 1 1 2 0
0 1 3 1 1
0 a-1/2 a-1/2 0 0
a≠1/2时,继续初等变换,化为行最简形：
1 0 0 1 0
0 1 0 -1/2 -1/2
0 0 1 1/2 1/2
所以对应齐次方程组的同解方程组是x1=-x4,x2=1/2x4,x3=-1/2x4,x4是自由未知量.所以Ax=0的基础解系是ξ=(2,-1,1,-2)'.所以Ax=b的通解是x=cξ＋n.
a=1/2时,行最简形是
1 0 -1 1/2 -1/2
0 1 3 1 1
0 0 0 0 0
所以对应齐次方程组的同解方程组是x1=x3+1/2x4,x2=-3x3-x4,x3,x4是自由未知量.所以Ax=0的基础解系η1=(1,-3,1,0)',η2=(1,-2,0,2)'.所以Ax=b的通解是x=c1η1＋c2η2＋n.