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f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(1)=0,求证：存在a(0
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f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(1)=0,求证：存在a(0
▼优质解答
答案和解析
设函数g(x)=f(x)*x
则g(0)=f(0)*0=0
g(1)=f(1)*1=0
由于f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,则g(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且g(0)=g(1),由罗尔定理
存在a∈(0,1)使g'(a)=0
g'(a)=f'(a)a+f(a)=0
f'(a)a=-f(a)
由于a∈(0,1)所以a≠0
所以f'(a)=-f(a)/a
则g(0)=f(0)*0=0
g(1)=f(1)*1=0
由于f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,则g(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且g(0)=g(1),由罗尔定理
存在a∈(0,1)使g'(a)=0
g'(a)=f'(a)a+f(a)=0
f'(a)a=-f(a)
由于a∈(0,1)所以a≠0
所以f'(a)=-f(a)/a
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