将一张长为9厘米，宽为42厘米的长方形纸片ABCD的一只直角斜折，使D点总是落在对边AB上，然后展开这些折痕l．这样继续下去，得到若干折痕．（1）请说明这些折痕围成的轮廓，它们形成何

Question

将一张长为9厘米，宽为4√(2)厘米的长方形纸片ABCD的一只直角斜折，使D点总是落在对边AB上，然后展开这些折痕l．这样继续下去，得到若干折痕．
（1）请说明这些折痕围成的轮廓，它们形成何种曲线？建立适当的平面直角坐标系，写出该曲线的方程；
（2）记折痕l与边CD的夹角为θ，求出l与θ之间的函数关系式；
（3）求折痕l的最小值．

Answer 1

（1）以边AD所在的直线为y轴，以边AD的垂直平分线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系
．则（0，2√(2)），B（9，2√(2)），C（9，−2√(2)），D（0，-2√(2)）
连接DD′，则l是DD′的垂直平分线．
∴在折痕上取一点M，且MD′⊥AB，则可得，MD′=MD，即折痕围上的任意一点到直线y=2√(2)的距离与到点D（0，2√(2)）的距离相等，围成的轮廓为开口向下的抛物线的一部分，焦点为（0，-2√(2)）
曲线对应的曲线的方程为x2＝−8√(2)y（0≤x≤4<

作业帮用户 2017-10-13 举报

问题解析

（1）以边AD所在的直线为y轴，以边AD为垂直平分线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系．则可求A，B，C，D的坐标，在折痕上取一点M，且MD′⊥AB，则可得，MD′=MD，即折痕围上的任意一点到直线y=2

√(2)的距离与到点D（0，2√(2)）的距离相等，围成的轮廓为抛物线的一部分，曲线对应的曲线可求     
（2）由题意可得4√(2)＝lsinθ+lsinθcos2θ，则l＝(4√(2))/(sinθ+sinθcos2θ)．当l过点C时，θ最小，而θ≤(π)/(4)，从而可求sinθ得范围          
（3）由l＝(4√(2))/(sinθ+sinθcos2θ)＝(2√(2))/(sinθ−sin3θ)，令t=sinθ，则l＝f(t)＝(2√(2))/(t−t3)，t∈[(1)/(3)，(√(2))/(2)]，利用导数可求函数的最小值

名师点评

本题考点：

导数在最大值、最小值问题中的应用；函数模型的选择与应用．

考点点评：

本题主要考查了点的轨迹方程的求解，三角函数性质的应用及利用函数的导数求解函数的单调区间，及函数的最值，属于函数知识的综合应用

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