已知a,b都是正数,求证;2/(1/a+1/b)小于等于根下a*b小于等于(a+b)/2小于等于根下(a平方+b平方)/2?

Question

已知a,b都是正数,求证;
2/(1/a+1/b)小于等于根下a*b小于等于(a+b)/2小于等于根下(a平方+b平方)/2?

Answer 1

(1)
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2>=0 --->
a^2+b^2>=2ab--->
2a^2+2b^2>=a^2+b^2+2ab=(a+b)^2 --->
(2a^2+2b^2)^(1/2)>=a+b --->
(a+b)/2=0 --->
(a+b)^2>=4ab --->(两边同时除以4、开根号,然后调换方向)
(ab)^(1/2)=2(1/a)^(1/2)(1/b)^(1/2)=2/(ab)^(1/2) --->
(ab)^(1/2)>=2/(1/a+1/b) --->2/(1/a+1/b)