已知函数f（x）及其导数f′（x），若存在x0，使得f′（x0）=f（x0），则称x0是f（x）的一个“和谐点”，下列函数中①f（x）=x2；②f（x）=1ex；③f（x）=lnx；④f（x）=x+1x，存在“和谐点”的

Question

已知函数f（x）及其导数f′（x），若存在x₀，使得f′（x₀）=f（x₀），则称x₀是f（x）的一个“和谐点”，下列函数中①f（x）=x²；②f（x）=

(1)/(ex)；③f（x）=lnx；④f（x）=x+(1)/(x)，存在“和谐点”的是（　　）

A. ①②

B. ①④

C. ①③④

D. ②③④

Answer 1

①中的函数f（x）=x²，f'（x）=2x．要使f（x）=f′（x），则x²=2x，解得x=0或2，可见函数有和谐点；
对于②中的函数，要使f（x）=f′（x），则e^-x=-e^-x，由对任意的x，有e^-x>0，可知方程无解，原函数没有和谐点；
对于③中的函数，要使f（x）=f′（x），则lnx=(1)/(x)，由函数f（x）=lnx与y=(1)/(x)的图象它们有交点，因此方程有解，原函数有和谐点；
对于④中的函数，要使f（x）=f′（x），则x+(1)/(x)=1-(1)/(x2)，即x³-x²+x+1=0，
设函数g（x）=x³-x²+x+1，g'（x）=3x²-2x+1>0且g（-1）<0，g（0）>0，
显然函数g（x）在（-1，0）上有零点，原函数有和谐点．
故答案为：①③④
故选：C