什么是积分（数学中的积分）

Question

什么是积分（数学中的积分）

Answer 1

下面不用任何专业术语,只用日常生活的比喻来大概说明一下微积分的原理.
一、微分的思想：
从上海到拉萨的平均坡度是多少?（高度比上距离）
从成都到拉萨的平均坡度是多少?
从古玉到拉萨的平均坡度是多少?
从墨脱到拉萨的平均坡度是多少?
从大丁卡到拉萨的平均坡度是多少?
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距离越来短,从大范围的平均坡度,到小范围内平均坡度,到很小很小距离内的平均坡度,.,一直这样无止境的下去,最后得到一个点的坡度值.
你的头发,在过去的十年中,平均每秒长多长?
在过去的一年中,平均每秒长多长毫米?
在过去的半年中,平均每秒长多长毫米?
在过去的一个月中,平均每秒长多长毫米?
在过去的一星期中,平均每秒长多长毫米?
在过去的12小时中,平均每秒长多长毫米?
在过去的10分钟内,平均每秒长多长毫米?
在过去的10秒内,平均每秒长多长毫米?
在过去的0.1秒内,平均生长速度(仍然按米每秒表示)?
在过去的0.001秒内,平均生长速度(仍然按米每秒表示)?
在过去的0.00001秒内,平均生长速度(仍然按米每秒表示)?
在过去的0.0000001秒内,平均生长速度(仍然按米每秒表示)?
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这样从平均增长速度算到了瞬时增长速度.
以上两例就是微分.
二、积分的思想：
在一张绘图纸上,画一个圆(半径10cm),绘图纸的小方格是1cm×1cm,估算圆的面积；
绘图纸的小方格是0.1cm×0.1cmm,估算圆的面积；
绘图纸的小方格是0.001cm×0.001cm,估算圆的面积；
绘图纸的小方格是0.00001cm×0.00001cm,估算圆的面积；
绘图纸的小方格是0.0000001cm×0.0000001cm,估算圆的面积；
绘图纸的小方格是0.000000001cm×0.000000001cm,估算圆的面积；
绘图纸的小方格是0.00000000001cm×0.0000000001cm,估算圆的面积；
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这样的估计越来越准确.
将一条曲线分成10段,将每每一段的直线距离加起来；
将该曲线分成100段,将每每一段的直线距离加起来；
将该曲线分成10000段,将每每一段的直线距离加起来；
将该曲线分成1000000段,将每每一段的直线距离加起来；
将该曲线分成100000000段,将每每一段的直线距离加起来；
将该曲线分成10000000000段,将每每一段的直线距离加起来；
将该曲线分成1000000000000段,将每每一段的直线距离加起来；
将该曲线分成100000000000000段,将每每一段的直线距离加起来；
将该曲线分成10000000000000000段,将每每一段的直线距离加起来；
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这样算出的长度当成曲线的长度越来越准确.
以上两例就是积分思想.
微积分 = 微分 + 积分
大概明白一点了吗?有问题欢迎来讨论.