求解一道矩阵题31-4-2这个矩阵的n次方.麻烦解答的时候说明一下应用了什么知识点,我这块儿学的不太好~谢谢

Question

求解一道矩阵题
3 1
-4 -2

这个矩阵的n次方.麻烦解答的时候说明一下应用了什么知识点,我这块儿学的不太好~谢谢

Answer 1

这问题涉及特征值与特征向量,你最好看看教材以及相关的例题
以下仅供参考
|A-λE|=
3-λ 1
-4 -2-λ
= (3-λ)(-2-λ)+4
= λ^2+λ-2
= (λ-2)(λ+1)
A的特征值为 2,-1
(A-2E)x=0 的基础解系为 (1,-1)^T
(A+E)x=0 的基础解系为 (1,-4)^T
令P=
1 1
-1 -4
则 P^-1AP = diag(2,-1)
A = Pdiag(2,-1)P^-1
A^n = Pdiag(2,-1)^nP^-1
= Pdiag(2^n,(-1)^n)P^-1
= (这个自己计算吧)