如图所示的自动通风设施，其下部ABCD是等腰梯形，其中高为0.5米，AB=1米，CD=2a(a＞)米，上部CmD是个半圆，固定点E为CD的中点，△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不

Question

如图所示的自动通风设施，其下部ABCD是等腰梯形，其中高为0.5米，AB=1米，CD=2a(a＞ )米，上部CmD是个半圆，固定点E为CD的中点，△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和CD平行的伸缩横杆，
(Ⅰ)设MN与AB之间的距离为x米，试将三角通风窗EMN的通风研积S（平方米）表示成x的函数S=f(x)；
(Ⅱ)当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN的通风面积最大？并求出这个最大面积。

Answer 1

(Ⅰ)① 时，由平面几何知识，得 ，
∴MN=2(2a-1)x+1，
S=f(x)=-(2a-1)x ² +(a-1)x+ 。
② ＜x＜a+ 时，
，
∴ 。
(Ⅱ)① 时， ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
若 ，当x=0时， ，
若a＞1，当 时， ；
② 时，


等号成立
，
∴当 时， 。
A. 时，
∵ ，
∴ 时，当 ，
时，当 ；
B.a＞1时， ，
当 时， ；
综上， 时，当 ，即MN与AB之间的距离为0米时，三角通风窗EMN的通风面积最大，最大面积为 平方米；
时，当 时， ，即MN与AB之间的距离为 米时，三角通风窗EMN的通风面积最大，最大面积为 平方米。