已知函数f(x)=px+1(p为常数).若点（1,2）（An,An+1）(n属于正整数)都在函数f(x)的图像上,证明：数列[An]为等差数列；若点（2的n次方,Bn+N）在函数f(x)的图像上,求数列（Bn）的前n项和Sn.

Question

已知函数f(x)=px+1(p为常数).若点（1,2）（An,An+1）(n属于正整数)都在函数f(x)的图像上,证明：数列[An]为等差数列；
若点（2的n次方,Bn+N）在函数f(x)的图像上,求数列（Bn）的前n项和Sn.

Answer 1

函数f(x)=px+1(p为常数).问题一：若点（1,2）（An,An+1）(n属于正整数)都在函数f(x)的图像上,证明：数列[An]为等差数列；
证明:
坐标(1,2)代入得:2=p+1,p=1
故f(x)=x+1.
所以有:A(n+1)=An+1
即A(n+1)-An=1
所以,{An}是一个等差数列.
问题二：若点（2的n次方,Bn+N）在函数f(x)的图像上,求数列（Bn）的前n项和Sn.
可得:Bn+n=2^n+1
即Bn=2^n-n+1
Sn=B1+B2+...+Bn
=(2^1+2^2+.+2^n)-(1+2+.+n)+(1+1+...+1)
=2*(1-2^n)/(1-2)-(1+n)n/2+n
=2(2^n-1)-1/2(n^2+n)+n
=2^(n+1)-2-1/2(n^2-n)