f(x),g(x)在x0处都没有导数,则F(x)=f(x)+g(x),G(x)=f(x)-g(x)在x0处至多有一个导数,给出证明.

Question

f(x),g(x)在x0处都没有导数,则F(x)=f(x)+g(x),G(x)=f(x)-g(x)在x0处至多有一个导数,给出证明.

Answer 1

用反证法
Assume
F(x), G(x) , x0处都有导数
F(x) = f(x)+g(x) (1)
G(x) = f(x)-g(x) (2)
(1) +(2)
F(x) +G(x) = 2f(x)
F(x) ,G(x) ,x0处都有导数
=> F(x) +G(x), x0处都有导数
2f(x), x0处都没有导数
contradiction
=>F(x)=f(x)+g(x),G(x)=f(x)-g(x)在x0处至多有一个导数