已知Sn=（12）2+（13）2+…+（1n+1）2，判断命题16＜Sn＜1，对任意的n∈N+成立的真假，说明理由．

Question

已知S_n=（(1)/(2)）²+（(1)/(3)）²+…+（(1)/(n+1)）²，判断命题(1)/(6)＜S_n＜1，对任意的n∈N⁺成立的真假，说明理由．

Answer 1

∵n（n-1）＜n²＜n（n+1）（n≥2）
∴(1)/(n(n+1))＜(1)/(n2)＜(1)/(n(n−1))
∴(1)/(n)−(1)/(n+1)＜(1)/(n2)＜(1)/(n−1)−(1)/(n)
∴(1)/(2)−(1)/(n+2)＜S_n＜1−(1)/(n+1)
∵n≥2
∴(1)/(2)−(1)/(n+2)≥(1)/(4)，1−(1)/(n+1)＜1
∴命题(1)/(6)＜S_n＜1，对任意的n∈N⁺成立．