解方程题解满足方程的所有整数解x^2+y^2=2(x+y)+xy

Question

解方程题
解满足方程的所有整数解
x^2+y^2=2(x+y)+xy

Answer 1

配方得
(x-y)^2+(x-2)^2+(y-2)^2=8
由于是求整数解,所以上式左边必须为三个完全平方数,且这三个数的和为8,只有8＝4+4+0这种分解法
由于x,y是对称的,分两种情况讨论
1）若(x-y)^2＝4,(x-2)^2＝4,(y-2)^2=0;
则x=0,y=2或x=4,y=2,
2)若(x-y)^2＝0,(x-2)^2＝4,(y-2)^2=4;
则x=0,y=0或x=4,y=4,
所以全部的整数解为
x=0,y=0或x=4,y=4或x=0,y=2或x=4,y=2或x=2,y=0或x=2,y=4