一道大学关于可降价二阶微分方程的题目设任意X>0曲线y=f（X）上点（x,f（X））处得切线在y轴上的截距等于1/x*∫f(t)dt积分范围是0到X,求f(X)

Question

一道大学关于可降价二阶微分方程的题目
设任意X>0 曲线 y=f（X）上点（x,f（X））处得切线在y轴上的截距等于1/x*∫f(t)dt 积分范围是0到X,求f(X)

Answer 1

∵y=f(x)上点(x,f(x))处得切线
∴切线方程是Y=f'(x)*X+f(x)-f'(x)*x
∴在y轴上的截距是f(x)-f'(x)*x
∵在y轴上的截距等于1/x*∫(0,x)f(t)dt
∴得微分方程f(x)-f'(x)*x=1/x*∫(0,x)f(t)dt
==>xf(x)-f'(x)*x²=∫(0,x)f(t)dt （两端同乘x）
==>x*f''(x)+f'(x)=0 (两端对x求导数,并整理)
==>d(f'(x))/f'(x)=-dx/x
==>ln│f'(x)│=-ln│x│+ln│C1│ (C1是积分常数)
==>f'(x)=C1/x
==>f(x)=C1ln│x│+C2 (C2是积分常数)
故f(x)=C1ln│x│+C2 (C1,C2是积分常数).