已知抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）的顶点是C（0,1）,直线l：y=﹣ax+3与这条抛物线交于P,Q两点与x轴,y轴分别交于点M和N. （1）设点P到x轴的距离为2,试求直线l的函数表达式； （2）若线段MP与PN的长

Question

已知抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）的顶点是C（0,1）,直线l：y=﹣ax+3与这条抛物线交于P,Q两点
与x轴,y轴分别交于点M和N. （1）设点P到x轴的距离为2,试求直线l的函数表达式； （2）若线段MP与PN的长度之比为3:1,试求抛物线的函数表达式.

Answer 1

y = ax^2+bx+c = a(x+b/(2a))^2+(c-b^2/(4a))
顶点 C(0,1) 则 -b/(2a) = 0, (c-b^2/(4a)) ,得 b=0, c=1,知抛物线为 y = ax^2+1
直线 y = -ax + 3 与坐标轴交点 M(3/a, 0), N(0, 3) .
由 MP:PN=3:1 ,知 P(3/(4a),9/4).
代入抛物线方程,得 a = 9/20 .
总结抛物线方程为 y=9x^2/20+1 .
另若 MP、PN 为无向线段,则有另一个可能的 P(-3/2a,9/2) .此时 a = 9/14 .方程为 y=9x^2/14+1 .