如图所示，是一传送装置，其中AB段粗糙，AB段长为L=1m，动摩擦因数u=0.5，BC、DEN段均可视为光滑，DEN是半径为r=0.5m的半圆形轨道，其直径DN沿竖直方向，C位于DN竖直线上，CD间的距离恰能让小

Question

如图所示，是一传送装置，其中AB段粗糙，AB段长为L=1m，动摩擦因数u=0.5，BC、DEN段均可视为光滑，DEN是半径为r=0.5m的半圆形轨道，其直径DN沿竖直方向，C位于DN竖直线上，CD间的距离恰能让小球自由通过．其中N点又与足够长的水平传送带的右端平滑对接，传送带以4m/s的速率沿顺时针方向匀速转动，小球与传送带之间的动摩擦因数也为0.5．左端竖直墙上固定有一轻质弹簧，现用一可视为质点的小球压缩弹簧至A点后由静止释放（小球和弹簧不粘连），小球刚好能沿圆弧DEN轨道滑下，而始终不脱离轨道．已知小球质量m=0.2kg，g取10m/s²．

（1）求小球到达D点时速度的大小及弹簧压缩至A点时所具有的弹性势能；
（2）小球第一次滑上传送带到第一次离开传送带的过程中，在传送带上留下多长的痕迹？
（3）如果希望小球能沿着半圆形轨道上下不断地来回运动，且始终不脱离轨道，则传送带的速度应满足什么要求？

Answer 1

（1）小球刚好能沿DEN轨道滑下，在圆周最高点D点，
由牛顿第二定律得：mg=m(v2D)/(r)，代入数据解得：v_D=√(5)m/s，
从A点到D点，由能量守恒得：E_p=μmgL+(1)/(2)mv_D²，
联立以上两式并代入数据解得：E_p=1.5J；
（2）从D到N，根据机械能守恒可得：
(1)/(2)mv_D²+mg•2r=(1)/(2)mv_N²，代入数据解得：v_N=5m/s，
在传送带上物块，由牛顿第二定律得：μmg=ma，
代入数据解得：a=5m/s²，
物块向左减速：v_N=at，
代入数据解得：t=1s，
物块向左运动的位移：s₁=(1)/(2)at²=2.5m，
传送带向右运动的位移为：S₂=vt=4×1=4m，
物块向右加速运动，物块与传送带速度相等的需要的时间：t′=(v)/(a)=0.8s，
物块向右加速运动的位移：S₃=(v)/(2)t′=1.6m，
传送带向右运动的位移：S₄=vt′=3.2m，
留下的痕迹为：△S=S₁+S₂+S₄-S₃=8.1m；
（3）设物块在传送带上返回到右端的速度为v₀，
若物块恰能冲到EF轨道圆心的等高处，
由动能定理得：(1)/(2)mv₀²=mgr，代入数据解得：v₀=√(10)m/s，
则传送带的速度必须满足：v₀≤√(10)m/s；
答：（1）小球到达D点时速度的大小为√(5)m/s，弹簧压缩至A点时所具有的弹性势能为1.5J；
（2）小球第一次滑上传送带后的减速过程中，在传送带上长为8.1m的痕迹．
（3）传送带的速度应满足的要求是：v₀≤√(10)m/s．