设集合W=｛p2+q2|p,q∈Z｝,试判断集合W中任意两个元素的乘积是否仍是这个集合的元素,并证明你的结论.

Question

设集合W=｛p2+q2|p,q∈Z｝,试判断集合W中任意两个元素的乘积是否仍是这个集合的元素,并证明你的结论.

Answer 1

设元素a^2＋b^2与c^2＋d^2(其中a、b、c、d∈Z),则
(a^2＋b^2)·(c^2＋d^2)
＝a^2c^2＋a^2d^2＋b^2c^2＋b^2d^2
＝a^2c^2＋b^2d^2＋2abcd＋a^2d^2＋b^2c^2－2abcd
＝(ac＋bd)^2＋(ad－bc)^2
显然ac＋bd、ad－bc∈Z
故W中任意两个元素的乘积是否仍是这个集合的元素