双曲线的中心为原点O,焦点在x轴上,两条渐近线分别是L1,L2,经过右焦点F垂直于L1的直线分别交L1.L2于A,B两点,已知|向量OA|,|向量AB|,|向量OB|成等差数列,且向量BF与向量FA同向(1)求双曲线的离心

Question

双曲线的中心为原点O,焦点在x轴上,两条渐近线分别是 L1,L2,经过右焦点F垂直于L1的直线分别交L1.L2于A,B两点,已知 |向量OA|,|向量AB|,|向量OB|成等差数列,且向量BF与向量FA同向
(1)求双曲线的离心率
(2)设AB被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程

Answer 1

(1)令|OA|=m,|OB|=n,|AB|=p,双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1
易知准线方程：y=bx/a或y=-bx/a,tan∠AOF=tan∠BOF=b/a
由题意：2p=m+n
m^2+p^2=n^2
所以 p/m=4/3
即 tan∠AOB=4/3
令 b/a=k
则 2k/(1-k^2)=4/3
k=1/2
即 b/a=1/2
所以c=√5*a/2,即离心率e=√5/2
(2)由题意：双曲线方程x^2/(4b^2)-y^2/b^2=1,F(√5b,0)
因为直线OA与AB垂直
所以 Kab=-2
所以直线AB方程：y=-2(x-√5b)
联立方程组消元得：
15x^2-32√5*bx+84b^2=0
令交点C(x1,y1),D(x2,y2)
x1+x2=32√5*b/15
x1x2=28b^2/5
|CD|=√5*|x1-x2|=√5*√[(x1+x2)^2-4x1x2]=4b/3=4
即 b=3
所以双曲线的方程x^2/36-y^2/9=1
很高兴为你解决问题!