已知圆c经过P(4,-2)Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为4根号3,半径小于5.若直线L∥PQ,且直线L与圆交于A,B两点,且以线段A,B为直径的圆经过坐标原点,求直线L的方程

Question

已知圆c经过P(4,-2)Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为4根号3,半径小于5.
若直线L∥PQ,且直线L与圆交于A,B两点,且以线段A,B为直径的圆经过坐标原点,求直线L的方程

Answer 1

设圆C为(x-a)²+(y-b)²=r²,则(4-a)²+(-2-b)²=r²①,
(-1-a)²+(3-b)²=r²②.又圆心C(a,b)到y轴距离为|a|,
∴a²+(2√3)²=r²③.由①②③得：a=1,b=0,r=√13,
∴圆C方程为(x-1)²+y²=13④.
又设A(x1,y1),B(x2,y2),直线L:y=-x+b⑤.
由④⑤消去y,整理得:2x²-2(b+1)x+(b²-12)=0,
∴x1+x2=b+1,x1·x2=½(b²-12),
∴|AB|²=(b+1)²-2(b²-12)=-b²+2b+25,
又AB中点为(½(b+1),½(b-1)),∴r²=½(b²+1),
∵|AB|²=4r²,∴-b²+2b+25=2(b²+1),∴b=1±√70/3,
∴直线L方程为y=-x+(1±√70)/3.