已知函数f（x）=ax2+bx+cex（a>0）的导函数y=f′（x）的两个零点为0和3．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若函数f（x）的极大值为10e3，求函数f（x）在区间[0，5]上的最小值．

Question

已知函数f（x）=(ax2+bx+c)/(ex)（a>0）的导函数y=f′（x）的两个零点为0和3．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若函数f（x）的极大值为(10)/(e3)，求函数f（x）在区间[0，5]上的最小值．

Answer 1

f′（x）=(-ax2+(2a-b)x+b-c)/(ex)
令g（x）=-ax²+（2a-b）x+b-c
函数y=f′（x）的零点即g（x）=-ax²+（2a-b）x+b-c的零点
即：-ax²+（2a-b）x+b-c=0的两根为0，3
则

3=(2a-b)/(a)

o=b-c

解得：b=c=-a，
令f′（x）>0得0<x<3
所以函数的f（x）的单调递增区间为（0，3），
（2）由（1）得：f(x)=(ax2-ax-a)/(ex)
函数在区间（0，3）单调递增，在（3，+∞）单调递减，
∴f(x)极大=f(3)=(5a)/(e3)=(10)/(e3)，
∴a=2，
∴f(0)=(-a)/(e0)=-2；  f(5)=(19a)/(e5)=(38)/(e5)>0，
∴函数f（x）在区间[0，4]上的最小值为-2．