关于函数f（x）=cosxsin2x，下列说法中正确的是①y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称；②y=f（x）的图象关于直线x=π2对称③y=f（x）的最大值是32；④f（x）即是奇函数，又是周期

Question

关于函数f（x）=cosxsin2x，下列说法中正确的是______
①y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称；②y=f（x）的图象关于直线x=(π)/(2)对称
③y=f（x）的最大值是(√(3))/(2)；         ④f（x）即是奇函数，又是周期函数．

Answer 1

①∵f（2π-x）+f（x）=cos（2π-x）sin2（2π-x）+cosxsin2x=-cosxsin2x+cosxsin2x=0，∴y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称，∴①正确；
②∵f（π-x）=cos（π-x）sin2（π-x）=cosxsin2x=f（x），∴y=f（x）的图象关于x=(π)/(2)对称，故②正确；
③f（x）=cosxsin2x=2sinxcos²x=2sinx（1-sin²x）=2sinx-2sin³x，令t=sinx∈[-1，1]，则y=g（t）=2t-2t³，t∈[-1，1]，
则y′=2-6t²，令y′＞0解得-(√(3))/(3)＜t＜(√(3))/(3)，
故y=2t-2t³，在[-(√(3))/(3)，(√(3))/(3)]上递增，在[-1，-(√(3))/(3)]和[(√(3))/(3)，1]上递减，又g（-1）=0，g（(√(3))/(3)）=(4√(3))/(9)，故函数的最大值为(4√(3))/(9)，∴③错误；
④∵f（-x）+f（x）=+cosxsin2x+cosxsin2x=0，故是奇函数，又f（x+2π）=cos（2π+x）sin2（2π+x）=cosxsin2x，故2π是函数的周期，∴函数即是奇函数，又是周期函数
，∴④正确．
综上知，说法中正确的是①②④．
故答案为：①②④．