关于数列极限,刚学数学书上写：一般地,在n无限增大的变化过程中,如果无穷数列an中的an无限趋近于一个常数A,那么A是an极限.一般地,任何一个无穷的常数数列的极限就是这个常数本身.为什么

Question

关于数列极限,刚学
数学书上写：
一般地,在n无限增大的变化过程中,如果无穷数列an中的an无限趋近于一个常数A,那么A是an极限.
一般地,任何一个无穷的常数数列的极限就是这个常数本身.
为什么都是“一般地”?有什么特殊情况?

Answer 1

您肯定理解不当.
书上应该是先举一个数列极限的特例,便于初学者理解和接受,然后在引入一般化的定义.所以才会接着说“一般地……”,其实是从讨论特殊情况到讨论一般情况的过程,这是逻辑学上的“归纳法”(相对于“演绎法”而言的).这里说的“一般”是相对于之前的“特殊”而言的,而并不是强调“还有其它不符合的反例存在”这一点.这里也许用词是有些歧义,不过很多人都不会在“一般”二字上太咬文嚼字.
这是形象的说法：在n无限增大的变化过程中,如果无穷数列a[n]中的a[n]无限趋近于一个常数A,那么A是a[n]极限.
你们应该学了数列/序列极限的严格定义,即所谓的“ε-N”语言.您对比一下严格的定义,就可以知道,在上面形象的说法中,您对“一般”这两个字的疑虑是不必要的.
不知道您看的是什么版本的教材,非数学专业的数学分析著作一般写得很含糊,定理的证明能省则省,但是浅显易懂.有业余数学兴趣的,推荐去图书馆找权威的教材《托马斯微积分》看看,相对于同是世界名著的《微积分学教程》,这本书比较生动有趣(讲得非常深入,但时间精力或兴趣不够的不推荐).