已知：如图，在锐角∠MAN的边AN上取一点B，以AB为直径的半圆O交AM于C，交∠MAN的角平分线于E，过点E作ED⊥AM，垂足为D，反向延长ED交AN于F．若cos∠MAN=12，AE=3，则阴影部分的面积=32-16π32-16π．

Question

已知：如图，在锐角∠MAN的边AN上取一点B，以AB为直径的半圆O交AM于C，交∠MAN的角平分线于E，过点E作ED⊥AM，垂足为D，反向延长ED交AN于F．若cos∠MAN=(1)/(2)，AE=√(3)，则阴影部分的面积=

(√(3))/(2)-(1)/(6)π

(√(3))/(2)-(1)/(6)π

．

Answer 1

连接OE，
∵cos∠MAN=(1)/(2)，
∴∠MAN=60°．
∴∠2=(1)/(2)∠MAN=(1)/(2)×60°=30°．
∴∠AFD=90°-∠MAN=90°-60°=30°．
∴∠2=∠AFD=∠3=60°，
∴∠OEF=90°，EF=AE=√(3)，
在Rt△OEF中，tan∠OFE=(OE)/(EF)，
∴tan30°=(OE)/(√(3))．
∴OE=1，
∵∠4=∠2+∠3=60°，
∴S_阴=S_△OEF-S_扇形OEB=(1)/(2)×1×√(3)-(60π×12)/(360)=(√(3))/(2)-(1)/(6)π．