已知⊙O是△ABC的内切圆，D、E、N是切点，联结NO并延长与DE交于点K，联结AK并延长与BC交于点M，证明：M是BC的中点．

Question

已知⊙O是△ABC的内切圆，D、E、N是切点，联结NO并延长与DE交于点K，联结AK并延长与BC交于点M，证明：M是BC的中点．

Answer 1

如图，∵⊙O是△ABC的内切圆，D、E、N是切点，
∴∠BDO=∠BNO=90°，
∴∠BDO+∠BNO=180°，
∴B、N、O、D四点共圆，
∴∠KOD=∠B．
同理，∠KOE=∠C．
∴(S△DKO)/(S△EKO)=(DK)/(EK)=((1)/(2)OD•OK•sin∠KOD)/((1)/(2)OE•OK•sin∠KOE)=(sin∠KOD)/(sin∠KOE)=(sinB)/(sinC)，
∵(S△ABM)/(S△ACM)=(BM)/(CM)，
而(S△ABM)/(S△ACM)=((1)/(2)AB•AM•sin∠BAM)/((1)/(2)AC•AM•sin∠CAM)=(AB•sin∠DAK)/(AC•sin∠EAK)，
∴(BM)/(CM)=(AB•sin∠DAK)/(AC•sin∠EAK)，
∵(S△ADK)/(S△AEK)=((1)/(2)AD•AK•sin∠DAK)/((1)/(2)AE•AK•sin∠EAK)，
而AD=AE，
∴(S△ADK)/(S△AEK)=(sin∠DAK)/(sin∠EAK)=(DK)/(EK)，
∴(sinB)/(sinC)=(sin∠DAK)/(sin∠EAK)，
∴(BM)/(CM)=

作业帮用户 2017-09-28 举报