在三角形ABC中,角BAC=90度,AB=AC,点D在边BC上,以AD为边作正方形ADEF,联结CF,CE.如果BD=AC,求证CD=CE

Question

在三角形ABC中,角BAC=90度,AB=AC,点D在边BC上,以AD为边作正方形ADEF,联结CF,CE.如果BD=AC,求证CD=CE

Answer 1

还需要补充说明：D、E在AC的两侧,否则需要求证的结论不成立.
［证明］
（1）
∵AB＝AC、∠BAC＝90°,∴∠ACD＝45°.
∵ADEF是正方形,∴∠AED＝45°,又∠ACD＝45°,∴A、D、C、E共圆.
∵ABCD是正方形,∴A、B、C、D共圆,又A、D、C、E共圆,∴A、D、C、F共圆.
∵ABCD是正方形,∴AD⊥AF,而A、D、C、F共圆,∴FC⊥BC.
（2）
∵AB＝AC、BD＝AC,∴AB＝BD,∴∠BAD＝∠BDA.
∵ABCD是正方形,∴∠ADE＝90°,∴∠BDA＋∠CDE＝90°,又∠BAD＋∠CAD＝90°,
∴∠BAD＋∠CAD＝∠BDA＋∠CDE,而∠BAD＝∠BDA,∴∠CAD＝∠CDE.
∵A、D、C、E共圆,∴∠CAD＝∠CED,又∠CAD＝∠CDE,∴∠CED＝∠CDE,∴CD＝CE.