如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=4，BC=9，AD=6，点E，F分别在边AD，BC上，且BF=2DE，联结FE，FE的延长线于CD的延长线相交于点P，设DE=x，PEEF=y．（1）求y关于x的函数解析式，并写出函数的

Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=4，BC=9，AD=6，点E，F分别在边AD，BC上，且BF=2DE，联结FE，FE的延长线于CD的延长线相交于点P，设DE=x，(PE)/(EF)=y．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（2）当以ED为半径的 E与以FB为半径的 F外切时，求x的值；
（3）当△AEF∽△PED时，求x的值．

Answer 1

（1）∵BF=2DE，DE=x，
∴BF=2x，
∵BC=9，
∴CF=9-2x，
∵AD∥BC，
∴△PDE∽△PCF，
∴(PE)/(PF)=(DE)/(CF)，
∵(PE)/(EF)=y，
∴y=(DE)/(CF-DE)=(x)/(9-3x)，
∴y=(x)/(9-3x)（0<x<3）；
（2）∵ E的半径=x， F的半径=2x，
∵以ED为半径的 E与以FB为半径的 F外切，
∴x+2x=EF，
过E作EG⊥BC于G，
∴EG=AB=4，FG=6-3x，
∴EF=√(EG2+FG2)=√(42+(6-3x)2)，
∴x+2x=√(42+(6-3x)2)，
解得x=(13)/(9)；
（3）当△AEF∽△PED时，
①当∠EAF=∠EDP时，有(DE)/(EA)=(PE)/(EF)，
即(x)/(6-x)=(x)/(9-3x)，
解得：x=(3)/(2)；
②当∠EFA=∠EDP时，过E作EG∥PC交BC于G，
则CG=ED=x，EG=9-3x，
∵△EFA∽△FGE，
∴(EF)/(FG)=(EA)/(FE)，
∴EF²=FG•EA，即4²+（6-3x）²=（9-3x）（6-x），
∴x=(9+√(129))/(12)．