已知非零正实数x1，x2，x3依次构成公差不为零的等差数列，设函数f（x）=xα，α∈{-1，12，2，3}，并记M={-1，12，2，3}．下列说法正确的是（）A.存在α∈M，使得f（x1），f（x2），f（x3）

Question

已知非零正实数x₁，x₂，x₃依次构成公差不为零的等差数列，设函数f（x）=x^α，α∈{-1，

(1)/(2)，2，3}，并记M={-1，(1)/(2)，2，3}．下列说法正确的是（　　）

A. 存在α∈M，使得f（x₁），f（x₂），f（x₃）依次成等差数列

B. 存在α∈M，使得f（x₁），f（x₂），f（x₃）依次成等比数列

C. 当α=2时，存在正数λ，使得f（x₁），f（x₂），f（x₃）-λ依次成等差数列

D. 任意α∈M，都存在正数λ>1，使得λf（x₁），f（x₂），f（x₃）依次成等比数列

Answer 1

∵x₁，x₂，x₃依次构成公差不为零的等差数列，∴x₂=(x1+x3)/(2)，且x₁，x₂，x₃两两不相等．
（1）∵当α∈M时，f（x）的变化率随x的变化而变化，∴f（x₁），f（x₂），f（x₃）不可能成等差数列，故A错误；
（2）若f（x₁），f（x₂），f（x₃）成等比数列，则x₁^αx₃^α=（(x1+x3)/(2)）^2α，∴x₁x₃=（(x1+x3)/(2)）²，
整理得（x₁-x₃）²=0，∴x₁=x₃．与x₁，x₂，x₃依次构成公差不为零的等差数列相矛盾，故B错误．
（3）当α=2时，假设f（x₁），f（x₂），f（x₃）-λ依次成等差数列，
则x₁²+x₃²-λ=2（(x1+x3)/(2)）²，∴λ=x₁²+x₃²-((x1+x3)2)/(2)=((x1-x3)2)/(2)>0．故C正确；
（4）假设λf（x₁），f（x₂），f（x₃）依次成等比数列，
则λx₁^αx₃^α=（(x1+x3)/(2)）^2α，∴λ=[((x1+x3)2)/(4x1x3)]α，∵((x1+x3)2)/(4x1x3)=(x12+x32+2x1x3)/(4x1x3)≥1，当且仅当x₁=x₃取等号．
∴当α>0时，λ>1，当α<0时，λ<1．故D错误．
故选：C．