二次函数零点问题，要详细过程函数f（x）=8x²-（20+t）x-（3t+4）在闭区间[0,3]上存在至少一个零点，求实参数t的取值范围

Question

二次函数零点问题，要详细过程
函数f（x）=8x²-（20+t）x-（3t+4）在闭区间[0,3]上存在至少一个零点，求实参数t的取值范围

Answer 1

设s=20+t,
上式可以整理得到f(x)= 8(x²+7)- (x+3)s

f(x)在x属于[0,3]内至少存在一个零点，即f(x)=0至少有一个解。
那么8(x²+7)- (x+3)s=0, 其中x+3>0
即s=8(x²+7)/(x+3), s的取值范围就是x属于[0,3]时等号右边表达式的取值范围。

设m=x+3, 上式整理得到
s=8(m+16/m-6)

这里我们关注m+16/m在m属于[3,6]的取值范围。
设n=16/m, 可知mn=16,
那么(m+16/m) ²=(m+n) ²=(m-n) ²+4mn=(m-n)²+64
可知当m=n时，取最小值64，则m+16/m最小值8
当m-n最大时，取最大值，而m-16/m是增函数，当m=6时，即m+16/m最大值26/3

那么s的最大值是8(26/3-6)=64/3, 最小值是8(8-6)=16
t=s-20, 则t的取值范围是-4