关于数学分析第一型曲线积分的问题∫x^(4/3)+y^(4/3)ds,积分区域：x^(2/3)+y^(2/3)＝a^(2/3)

Question

关于数学分析 第一型曲线积分的问题
∫x^(4/3)+y^(4/3)ds ,积分区域：x^(2/3)+y^(2/3)＝a^(2/3)

Answer 1

①积分曲线是星形线,星形线的参数方程是x=a(cost)^3,y=a(sint)^3,0≤t≤2п.
②代入化简被积函数：
x^(4/3)+y^(4/3)= a^(4/3)[(cost)^4+(sint)^4],
利用三角公式(cost)^2=0.5(1+cos2t)^2,(sint)^2=0.5(1-cos2t)^2★降次再降次,
可得被积函数=0.5a^(4/3)*[1+(cos2t)^2].
③求ds：
同上利用公式★降次化简可得ds=√(x’)^2+(y’)^2dt=1.5 a┃sin2t┃dt.
④计算原式：
∫x^(4/3)+y^(4/3)ds=0.75a^(7/3)∫(0到2п)[1+(cos2t)^2]*┃sin2t┃dt,
考虑到被积函数中的┃sin2t┃在0到2п上的符号问题,在去掉绝对值符号时,
需要把积分区间分成四段：0到п/2,п/2到п；п到3п/2；3п/2到2п,
然后逐一积分可得原式=4a^(7/3).