已知A为抛物线y平方=2x上的动点,定点B的坐标为（2,0）,以AB为直径做圆C.若圆C截直线x+ky—3/2=0所得的弦长为定值,求弦长和实数k

Question

已知A为抛物线y平方=2x上的动点,定点B的坐标为（2,0）,以AB为直径做圆C.若圆C截直线x+ky—3/2=0所得的弦长为定值,求弦长和实数k

Answer 1

设动点(x0,y0),则y0²=2x0,AB为直径做圆C的圆心坐标x=(x0+2)/2,y=(y0+0)/2,x0=2x-2,y0=2y,4y²=2(2x-2),y²=x-1,圆心轨迹为抛物线,假设圆心在(1,0)时,此时圆为：(x-1)²+y²=1,与直线x+ky—3/2=0,解得弦长平方=(4k²+3)/(1+k²),若弦长为定值√3,则k=0,直线为x-3/2=0,对所有圆C,圆心到直线为x-3/2=0的距离=|y²+1-3/2|=|y²-1/2|,圆半径平方=(x-2)²+y²=x²-4x+4+y²=(y²+1)²-4(y²+1)+4+y²=y^4-y²+1,弦长=2√[(y^4-y²+1)-|y²-1/2|²]=√3,综上弦长为√3和实数k=0.