附加题：是否存在一个二次函数f（x），使得对任意的正整数k，当时，都有f（x）=成立？请给出结论，并加以证明．

Question

附加题：是否存在一个二次函数f（x），使得对任意的正整数k，当时，都有f（x）=成立？请给出结论，并加以证明．

Answer 1

存在符合条件的二次函数．
设f（x）=ax²+bx+c，则当k=1，2，3时有：
f（5）=25a+5b+c=55 ①； f（55）=3025a+55a+c=5555②； f（555）=308025a+555b+c=555555③．
联立①、②、③，解得a=(9)/(5)，b=2，c=0．
于是，f（x）=(9)/(5)x²+2x．
下面证明二次函数f（x）=(9)/(5)x²+2x符合条件．
因为=5（1+10+100++10^k-1）=(5)/(9)（10^k-1），
同理：=(5)/(9)（10^2k-1）；
=f（(5)/(9)（10^k-1））=(9)/(5)[(5)/(9)(10k−1)]2+2×(5)/(9)（10^k-1）
=(5)/(9)（10^k-1）²+2×(5)/(9)（10^k-1）=(5)/(9)（10^k-1）（10^k+1）=(5)/(9)（10^2k-1）=
∴所求的二次函数 f（x）=(9)/(5)x²+2x符合条件．