（2013•西城区一模）已知函数f（x）=log2x-2log2（x+c），其中c＞0．若对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤1，则c的取值范围是（）A．(0，14]B．[14，+∞)C．(0，18]D．[18，+∞)

Question

（2013•西城区一模）已知函数f（x）=log₂x-2log₂（x+c），其中c＞0．若对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤1，则c的取值范围是（　　）

A．(0，(1)/(4)]
B．[(1)/(4)，+∞)
C．(0，(1)/(8)]
D．[(1)/(8)，+∞)

Answer 1

由f（x）≤1，得：log₂x-2log₂（x+c）≤1，
整理得：log2(x+c)≥log2√((x)/(2))，所以x+c≥√((x)/(2))，
即c≥−x+(√(2))/(2)√(x)（x＞0）．
令√(x)＝t（t＞0）．
则c≥−t2+(√(2))/(2)t．
令g（t）=−t2+(√(2))/(2)t，其对称轴为t＝(√(2))/(4)．
所以g(t)max＝g((√(2))/(4))＝−((√(2))/(4))2+(√(2))/(2)×(√(2))/(4)＝(1)/(8)．
则c≥(1)/(8)．
所以，对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤1的c的取值范围是[(1)/(8)，+∞)．
故选D．