已知函数f(x)=lnx,g(x)=1/2x^2（1）设函数h(x)=2g(x)-f(x),求h(x)的极小值（2）设函数F（x)=ag(x)-f(x),(a>0),若F(x)>0恒成立,求实数a的取值范围

Question

已知函数f(x)=lnx,g(x)=1/2x^2
（1）设函数h(x)=2g(x)-f(x),求h(x)的极小值 （2）设函数F（x)=ag(x)-f(x) ,(a>0),若F(x)>0恒成立,求实数a的取值范围

Answer 1

（1）设函数h(x)=2g(x)-f(x),则 h'(x)=2g'(x)-f'(x)=2x-1/x=0
=>x=√2/2
∵h''(x)=1+1/x²
∴h''(√2/2)=3/2>0
x=√2/2为极小值点.
∴h(x)的极小值为：h(√2/2)=1/2-ln(√2/2)
(2)函数F（x)=ag(x)-f(x) ,(a>0),
∵F'（x)=ag'(x)-f'(x)=ax-1/x=(ax²-1)/x=0
=>x=√a/a
若F(x)>0恒成立
则x=√a/a为F(x)的最小值.
=>F（√a/a)=ag(x)-f(x)=1/2(1-lna)>0
=>0