（Ⅰ）设函数f（x）=ln（1+x）-2xx+2，证明：当x＞0时，f（x）＞0；（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率

Question

（Ⅰ）设函数f（x）=ln（1+x）-(2x)/(x+2)，证明：当x＞0时，f（x）＞0；
（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为P．证明：P＜((9)/(10))19＜(1)/(e2)．

Answer 1

（Ⅰ）∵f′（x）=(1)/(1+x)−(2(x+2)−2x)/((x+2)2)=(x2)/((1+x)(x+2))≥0，（x＞-1），（仅当x=0时f′（x）=0）
故函数f（x）在（-1，+∞）单调递增．当x=0时，f（x）=0，故当x＞0时，f（x）＞0．
（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，连续抽取20次，则抽得的20个号码互不相同的概率为P=(A20100)/(10020)，要证P＜（(9)/(10)）¹⁹＜(1)/(e2)．
先证：P=(A20100)/(10020)＜((9)/(10))19 即证(100×99×…×81)/(10020)＜(100)/(90)((90)/(100))20
即证99×98×…×81＜（90）¹⁹而99×81=（90+9）×（90-9）=90²-9²＜90²
98×82=（90+8）×（90-8）=90²-8²＜90²…
91×89=（90+1）×（90-1）=90²-1²＜90²
∴99×98×…×81＜（90）¹⁹
即P＜((9)/(10))19
再证：((9)/(10))19＜e^-2，即证((10)/(9))19＞e²，即证19ln(10)/(9)＞2，即证ln(10)/(9)＞(2)/(19)
由（Ⅰ）f（x）=ln（1+x）-(2x)/(x+2)，当x＞0时，f（x）＞0．
令x=(1)/(9)，则ln（1+(1)/(9)）-

作业帮用户 2016-11-24 举报

问题解析

（Ⅰ）先利用导数证明函数f（x）=ln（1+x）-(2x)/(x+2)在定义域上为增函数，即证明f′（x）≥0在（-1，+∞）恒成立，再考虑当x=0时，f（x）=0，故当x＞0时，f（x）＞0
（Ⅱ）先计算概率P=(A10020)/(10020)，再证明(A10020)/(10020)=(100×99×…×81)/(10020)＜((9)/(10))19=(100)/(90)((90)/(100))20，即证明99×98×…×81＜（90）¹⁹，最后证明((9)/(10))19＜e^-2，即证((10)/(9))19＞e²，即证19ln(10)/(9)＞2，即证ln(10)/(9)＞(2)/(19)，而这个结论由（1）所得结论可得

名师点评

本题考点：

利用导数研究函数的单调性；等可能事件的概率．

考点点评：

本小题主要考查函数、导数、不等式证明及等可能事件的概率等知识．通过运用导数知识解决函数、不等式问题，考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力．

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