如何用向量证明三角形的重心到顶点的距离等于其到对边中点距离的2倍

Question

如何用向量证明三角形的重心到顶点的距离等于其到对边中点距离的2倍

Answer 1

因为A'为BC中点,所以 S(△AA'B) = S(△AA'C) &  S(△OA'B) = S(△OA'C) 
同理
S(△BB'A) = S(△BB'C) &  S(△OB'A) = S(△OB'C) 
S(△CC'A) = S(△CC'B) &  S(△OC'A) = S(△OC'B) 
=>
因为 S(△AA'B) = S(△AA'C) &  S(△OA'B) = S(△OA'C),所以 S(△AOB) = S(△AOC) 
同理
S(△AOB) = S(△AOC) = S(△BOC)
=>  S(△OA'B) = S(△OA'C) = S(△OB'A) = S(△OB'C) = S(△OC'A) = S(△OC'B) 
因此, S(△AOC) = 2 x S(△A'OC) => AO = 2 A'O
同理,S(△BOC) = 2 x S(△B'OC) => BO = 2 B'O
S(△COB) = 2 x S(△C'OB) => CO = 2 C'O